高中数学基础-统计和概率

一、统计基础

• 总体、个体：所有元素称为总体，其中一个元素称为个体
• 普查、抽查：所有元素都检查一遍称为普查，对部分样本进行抽取检查称为抽查，抽样中的元素称为样本，抽样的总数称为样本量
• 放回和不放回：抽查时是否放回，是两种策略，样本比较多那就不放回（不然影响效率），样本比较少就放回（不然抽几次就没了）；摇骰子、抽签、随机数是放回的，结果可以重复；抽奖、彩票是不放回的；
• 平均值：总体有总体平均数（或者叫平均值），样本有样本平均数；平均数可以表示为$\bar{x}$
• 分层抽样：总体A中的数据并不均匀，聚集抱团在不同区域，每一个子总体，可以称为层，那么采用分层抽样，某层的样本总数为B，需要抽取的样本数为C，那么该层的抽样样本为$S=\frac{B}{A}C$；
• 数据来源：抽样实际调查；做实验记录数据；观察客观规律的数据，如下雨天数；查询公开数据、论文等；
• 数据和频率：统计出数据以后，可以根据数据的占比，绘制频率分布表、频率分布直方图；反应不同数据范围的分布频率
• 频率分布表：最大值和最小值的差为极差A，假设组距为B，那么组数为$C=\frac{A}{B}$，可以根据实际情况调整B来控制C的大小，然后制作表格，分组从最小值D开始$[D,D+B],[D+B,D+2B]...$，每一个分组确定对应的频数、频率（频率=频数/样本量）
• 频率分布直方图：类似于频率分布表，只不过分组作为x轴（柱子的底就是组距），频率/组距作为y轴，如此每一个柱子的面积=频率，所有柱子的面积之和等于1
• 百分位：如果样本总量100，那么排序后，取第80、81位AB，$C=\frac{A+B}{2}$就是第80分位数，意味着有80%数据小于C；第p分位数P表示有p%数据小于P
• 离散程度：已知平均数$\bar{x}$，求和每一项和平均数的差的平方，再除以样本数，得到方差反映了各项值和平均数的趋紧关系；方差$T=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$;方差的单位是单位的平方，标准差$t=\sqrt{T}$进行单位还原

二、概率

• 随机试验：有一些事件是随机发生的，那么称为随机试验
• 样本点：随机试验所有可能的每一个结果称为样本点，所有样本点集合称为样本空间Ω；如果一个实验的样本空间有限，称为有限样本空间
• 随机事件：样本空间E的一个子集就是随机事件（简称事件）如果这个子集只有一个元素，那么称为基本事件（ABC…）如果一次实验，一个基本事件的样本点出现，那么称为事件A发生，样本空间Ω必然发生，空集不包含样本点表示不可能发生
• 事件包含：如果事件A发生则B发生，那么B包含A；如果AB相互包含，那么A=B
• 事件并集：如果事件A发生，事件B至少有一个样本发生，那么AB有并集；
• 事件交集：如果事件A发生，事件B也发生，那么AB有交集；
• 事件互斥：如果事件A发生，事件B不可能发生，那么AB没有交集；
• 事件对立：一次实验，要么事件A 发生或者事件B发生，那么AB对立；A并B=Ω
• 古典概型：样本有限，每一个样本发生概率相等，称为古典概型；
• 概率：样本A发生的概率称为P(A)，概率反映了事件发生的可能性大小；假设样本空间Ω有n个样本点，满足事件A的样本点有k个，那么$P(A)=\frac{k}{n}=\frac{n(A)}{n(\Omega )}$，用$n(A)$格式快速表示样本点数
• 概率性质1：一般对于事件A有$P(A)>=0$，$P(\Omega )=1$，$P(\varnothing )=0$
• 概率性质2：事件互斥，那么对于两个互斥事件，$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
• 概率性质3：事件对立，两个对立事件，$P(A)+P(B)=1=>P(A)=1-P(B)$
• 概率性质4：事件包含，如果A包含B，那么$P(A)>=P(B)$
• 概率性质5：对于任意两个事件满足$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，一般来说主要针对AB存在交集的情况，如果没有交集那么P(AB)=0，就变成了对立事件
• 事件独立性：对于两个独立事件AB，两个事件之间互不影响，那么$P(AB)=P(A)\ast P(B)$，P(AB)代表事件样本空间的交集
• 频率和概率：一个实验中的事件S发生的次数A，总实验次数N，频率为$B=\frac{A}{N}$，经过实验发现，N越大，B趋向于概率P(S)；也就是说实验验证得到的频率，可以用来反映概率；

包含

并集

交集

互斥

对立

三、计数原理

• 分类加法：想要完成一件事情，假设总方案数为N，可以对方案进行分类，分类1有m个方案、分类2有n个方案，那么总方案$N=m+n$
• 分步乘法：想要完成一件事情，如果分两步，第一步有m个方案，第一步有n个方案，那么总方案$N=m\ast n$
• 排列数：在n个元素中取出m个元素，并且排成一行（具有顺序性、方向性），那么方案数为$A_n^m=n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast ...\ast (n-m+1)$(在数轴上a到b，如果包含a，总数=b-a+1；如果只算b和a之间的差，差=b-a)；
• 全排列公式：如果将n个元素全部排列，那么$A_n^n=n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast ...\ast 3\ast 2\ast 1$，称为全排列；正整数1到n的连乘，称为阶乘，所以$A_n^n=n!$
• 排列公式变形：乘以余项$T=(n-m)\ast ...\ast 3\ast 2\ast 1=(n-m)!$，补全分子，$A_n^m=n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast ...\ast (n-m+1)=>A_n^m=\frac{n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast ...\ast (n-m+1)\ast T}{T}=\frac{n!}{T}=\frac{n!}{(n-m)!}$
• 案例1：0-9的10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？分两步，第一步首位不能是0，取一个数字，有$T_1=A_9^1$，第二步剩下9个数字取出2个，有$T_2=A_9^2$，那么总方案$N=T_1\ast T_2=A_9^1\ast A_9^2=648$
• 组合数：从n个元素中取出m个元素，不具备顺序性，规定$C_n^m$是组合数；如果在组合数上乘以m的排列$A_m^m$，就会让组合数具备顺序性$C_n^m\ast A_m^m=A_n^m$，一般来说根据排列数来求组合数$C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast ...\ast (n-m+1)}{m!}$(原始定义，m比较小的时候适用)，可以推导出$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$（适合在m相对n比较大时候，进行阶乘约分）；其实顺序性$R=A_m^m=m!$是排列数和组合数的差别
• 二项式定理：$(a+b{)}^n$最后的总项数为$n$，相当于做了n次二选一，每一项都格式为$a^{n-k}{b}^k$(习惯规定b的次方为k，也可以指数互换)，那么每一项的系数表示从n个元素中取k个b，二项式系数可以表示为$C_n^k$，公式$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n{b}^0+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+...+C_n^n{a}^0{b}^n$，其中任意一项的通式为$C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$
• 特殊二项式：令a=1，$(1+b{)}^n=C_n^0+C_n^{1}b+C_n^2{b}^2+...+C_n^n{b}^n$
• 二项式系数趋势：$k<\frac{n+1}{2}$时随着k增大$C_n^k$递增，超过则开始递减，曲线在$k=\frac{n+1}{2}$对称
• 二项式系数总和：$(a+b{)}^n$如果a=1、b=1，那么$(a+b{)}^n=(1+1{)}^n=2^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n$，表明二项式系数总和等于$2^n$

四、随机变量

• 条件概率：假设事件A事件B是交集，那么$P(AB)$表示交集发生的概率，$\frac{P(AB)}{P(A)}$代表A发生的情况下B发生的概率，记作$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$；
• 概率乘法：事件交集状态，可以得到变形$P(AB)=P(A)P(B|A)$；如果事件相互独立，$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A)P(B)}{P(A)}=P(B)$，那么替换到独立公式中$P(AB)=P(A)P(B)=P(A)P(B|A)$，依然可以满足$P(AB)=P(A)P(B|A)$；如果A包含B，那么$P(B|A)=1$，$P(AB)=P(B)\ast 1$，依然满足概率乘法公式；一般来说条件概率在交集中应用最广泛
• 条件概率和概率性质：事件互斥，依然满足条件概率$P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)$；事件对立依然满足，$P(\bar{B}|A)=1-P(B|A)$
• 全概率公式：如果第一步的多个方案是互斥事件，第二步事件B发生的概率，其中一个方案S后事件B发生的概率为$P(S)P(B|A_S)$，那么所有方案加起来$P(B)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$；注意$P(A_i)>0,P(A_1)+P(A_2)+..+P(A_n)=1$
• 贝叶斯公式：已知第二次事件发生全概率为$P(B)$，在事件B发生情况下，第一次第i个方案发生的概率为$T=P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|Ai)}{P(B)}$
• 换箱子问题：假设有123三个箱子，其中一个有奖品，主持人知道奖品在哪里，你选择了1，这个时候主持人打开了3号箱子是空的，这个时候你要不要换箱子？设$A_1{A}_2{A}_3$为奖品在123箱子的事件，$B_1{B}_2{B}_3$为主持人打开3号箱子的事件，那么$P(B_3)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_i)\ast 0=\frac{1}{3}\ast \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ast 1=\frac{1}{2}$，那么在主持人打开3号箱子的前提下，1号箱子是奖品的概率$P(A_1|B_3)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B_3)}=\frac{1}{3}$，2号箱子是奖品的概率$P(A_2|B_3)=\frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B_3)}=\frac{2}{3}$，那么此时应该换成2号箱子；（还有一种简单思路，你选择了1中奖概率是$\frac{1}{3}$，其余的23箱子当成整体，中奖概率是$\frac{2}{3}$，23排除任何一个剩下那个概率自动继承$\frac{2}{3}$）
• 离散型随机变量：假设实验的每个样本点对应一个实数值$\omega (X)$(对应规则自己定义)，那么称X为随机变量，由于实数值$\omega (X)$的数量未知、不固定，总称为离散型随机变量；
• 随机变量X概率分布列：假设随机变量X取值为$x_1,x_2,x_3...x_n$，那么发生的概率为$P(X=x_i)$，将$P(X=x_i)$和X一一对应，每一列有两个值，就是X的概率分布列；如果X取值只有0、1，那么称为0-1分布（两点分布）
• 随机变量X期望：概率*目标值=期望的目标值，规定总期望$E(X)={\sum }_{i=1}^n{x}_i{P}_i$为X的均值或期望；根据方程式推导$E(aX+b)=aE(X)+b$
• 随机变量X期望方差：在均值的基础上计算方差，可以反应样本数据的离散程度，方差$D(X)={\sum }_{i=1}^n(x_i-E(X){)}^2{P}_i=>{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2{P}_i-2E(X){\sum }_{i=1}^n{x}_i{p}_i+E(X{)}^2{\sum }_{i=1}^n{P}_i$，由于${\sum }_{i=1}^n{x}_i{p}_i=E(X),{\sum }_{i=1}^n{P}_i=1$，那么$D(X)={\sum }_{i=1}^n{x}_i^2{P}_i-2E(X{)}^2+E(X{)}^2={\sum }_{i=1}^n{x}_i^2{P}_i-E(X{)}^2$；标准差为$\sqrt{D(X)}$
• 二项分布：一次实验的结果只有两种事件，每次实验相互独立，假设事件发生的概率为p，X表示成功发生的次数，总实验数为n，根据二项式定理，令$a=p、b=1-p$，X的分布列为$P(X=k)C_{i=1}^n{p}^k(1-p{)}^{n-k}=[p+(1-p){]}^n$，记作$X\sim B(n,p)$；$E(X)=np,D(X)=np(1-p)$
• 超几何分布：二项分布可以理解成放回模式，这样保证每次实验概率重置；如果不放回，前一次实验会影响后一次实验，这就是超几何分布。假设一批产品共N个，总次品有M个，现在不放回连续抽取n个样品，X表示抽到次品的个数，X的分布列$P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$；$E(X)=np$
• 正态分布：样本对应的实数值$\omega (X)$连续，称为连续型随机变量，在直角坐标系中，X为x轴，频率/组距为y轴，绘制曲线$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$，$f(x)$称为正态密度曲线，记作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$；当$\mu =1,\sigma =1$时称为标准正态分布；函数曲线根据$x=\mu$对称，$x=\mu$时达到峰值$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$；$E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2$
• 正态分布X取值范围：$x\in [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$的概率为0.6827，$x\in [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$的概率为0.9545，$x\in [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$的概率为0.9973，